Hay que distinguir muchos planos cuando hablamos de estas posibles influencias.
Uno dramático -la estructura y el decurso del drama-: superación de viejos esquemas de números cerrados, etc, etc
Ligado al anterior, cambios y evoluciones muy sustanciales en la orquestación: esa música que fluye continua en Otello como nunca antes en Verdi está al servicio de una concepción dramática novedosa y compleja.
Y por último, la línea vocal, el recitado, declamación, etc, etc. como culminación de toda una recomprensión de la imbricación entre el canto y el pathos de los roles.
No podemos pretender zanjar en pocas palabras cualquier hipotética influencia -sea Wagner-Verdi, sea Verdi-verismo, sea cualquier otra- cuando son tantos los aspectos en juego, y cuando muchos de ellos sólo se explican con una atención minuciosa a la partitura -cosa que no podemos hacer aquí por falta de tiempo y medios-.
Resumiendo: lo más sensato que podemos decir con las limitaciones que obliga una discusión de foro, intuitivamente, es que el caldo de cultivo musical en el que Verdi compuso Otello y Falstaff tenía mucho que ver con el impacto de las composiciones de Wagner y con transformaciones sustanciales en la concepción de la dramaturgia. Pero eso no supone una influencia directa de Wagner sobre Verdi.
En el caso de la influencia de Verdi sobre el verismo, creo que es más probable explicitar en qué se concreta, pero sobre todo porque el verismo fue un movimiento bastante programático y nos legó textos importantes donde se autoexplicaba, por decirlo con un palabro que me saco de la manga ahora mismo.